Олимпиадная задача о симметрии точек касания во вписанной окружности
Нет ответа
Задача
ABC — данный разносторонний треугольник, A1, B1, C1 – точки касания его вписанной окружности со сторонами BC, AC, AB соответственно, A2, B2, C2 — точки, симметричные точкам A1, B1, C1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника ABC. Докажите, что A2C2 || AC
Решение
Пусть O — центр вписанной окружности. Тогда точка B1 переходит в точку C1 при симметрии относительно прямой AO, C1 — в C2 при симметрии относительно CO. Поэтому
$\displaystyle \angle$B1OC2 = 2$\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B}\right.$90o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$B$\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B}\right)$ = 180o - $\displaystyle \angle$B.
Аналогично$\angle$B1OA2= 180o-$\angle$B.
Таким образом,
$\angle$B1OC2 = $\angle$B1OA2 и точки A2 и
C2 симметричны относительно прямой B1O. Следовательно,
A2C2 || AC
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет