Угол между плоскостью и пересечением оснований двух конусов — олимпиад

Пусть P – общая вершина данных конусов, PK – их общая образующая, PM и PN – образующие конусов, лежащие в плоскости α . Опишем около конусов треугольные пирамиды ABPQ и BCPQ ("каркасы" конусов) с общей высотой QP и основаниями ABP и CBP (рис.1). При этом равные равнобедренные треугольники ABP и CBP с общей боковой стороной BP лежат в плоскости α , основание первого конуса вписано в треугольник AQB , второго – в треугольник BQC , PM и PN – высоты треугольников ABP и CBP соответственно, BQ – прямая пересечения плоскостей оснований конусов, а угол, который образует это прямая с плоскостью α , – это угол PBQ .

Пусть O1и O2– центры оснований соответственно первого и второго конуса. Тогда O1K BQ , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах PK BQ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник MPQ (рис.2). PO1– его высота, проведённая из вершины прямого угла. Так как PO1 = 2и O1M = 1, то

tg QMP = = 2, cos QMP = ,

QP = = = 2.

В прямоугольном треугольнике QPB (рис.3) известно, что

PK = 2 = = ,

кроме того, PK – высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит,

cos PBQ = cos QPK = = = .

Следовательно, PBQ = 60^o .

60^o .