Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: площади треугольников PQR и MNK

Задача 155749 • Сложность: 4 • 8-9 класс
Нет ответа
Задача

Пусть P, Q и R — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC, а M, N, и K — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников PQR и MNK равна площади треугольника ABC.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
3
Решение

Пусть x и y — стороны равносторонних треугольников PQR и MNK, AC = b, AB = c, $\angle$BAC = $\alpha$. По теореме косинусов из треугольника APR находим, что

x2 = PR2 = AR2 + AP2 - 2AR . AP cos$\displaystyle \angle$PAR =
= $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{\sqrt{3}}}\right.$$\displaystyle {\frac{b}{\sqrt{3}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{\sqrt{3}}}\right.$$\displaystyle {\frac{c}{\sqrt{3}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$bc cos($\displaystyle \alpha$ + 60o) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(b2 + c2 - 2bc cos($\displaystyle \alpha$ + 60o)).
Тогда
S$\scriptstyle \Delta$PQR = $\displaystyle {\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{12}}$(b2 + c2 - 2bc cos($\displaystyle \alpha$ + 60o)).
Аналогично
y2 = MK2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(b2 + c2 - 2bc cos($\displaystyle \alpha$ - 60o)),
S$\scriptstyle \Delta$MNK = $\displaystyle {\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{12}}$(b2 + c2 - 2bc cos($\displaystyle \alpha$ - 60o)).
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$PQR - S$\scriptstyle \Delta$MNK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$bc(cos($\displaystyle \alpha$ - 60o) - cos($\displaystyle \alpha$ + 60o)) =
= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$bc sin$\displaystyle \alpha$sin 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bc sin$\displaystyle \alpha$ = S$\scriptstyle \Delta$ABC.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет