Угол между плоскостями, касающимися двух равных конусов — стереометрия

Пусть плоскости оснований конусов пересекают перпендикуляр к общей касательной плоскости, проходящей через общую образующую PK конусов с общей вершиной K , в точках Q и Q1(рис.1). Из точки Q проведём касательные к окружности основания первого конуса. Пусть они пересекают общую касательную плоскость в точках A и B . Тогда касательные к окружности основания второго конуса, проведённые из точки Q1, пересекают общую касательную плоскость в тех же точках.

Рассмотрим две треугольные пирамиды ABPQ и ABPQ1с общим основанием ABP ("каркасы" конусов). Заметим, что искомый угол – это двугранный угол между плоскостями AQQ1и BQQ1, а APB – его линейный угол.

Пусть O – центр основания первого конуса, r – радиус основания конуса, M – точка касания окружности основания с отрезком AQ (рис.2). Тогда

KP=2OK=2r, PQ = KP = 2r.

В прямоугольном треугольнике APQ (рис.3) известно, что PM=PK=2r , QP=2r . Обозначим AQP=ϕ . Тогда

sin ϕ = = , cos ϕ = , tg ϕ = , AP=PQ tg ϕ = 2r· = r.

Если γ – искомый угол, то

cos = = = .

Тогда sin = . Следовательно,

cos γ = cos2 - sin2 = - = .

2 arctg = 2 arccos = arccos .