Математическая задача: сфера и три касающиеся окружности, найти радиус

Пусть O – центр сферы (рис.1); O1, O2, O3– центры трёх данных окружностей, расположенных на сфере; Q – центр искомой окружности радиуса x ; A – точка касания окружностей с центрами O1и O2.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно общей касательной l к окружностям с центрами O1и O2, проходящей через точку A (рис.2). Точки O , O1и O2лежат в этой плоскости. Таким образом, мы имеем окружность радиуса 2 с центром O и две её хорды AB и AC , середины которых – точки O1и O2соответственно, а т.к. AB и AC – диаметры данных окружностей с центрами O1и O2, то AB = AC = 2, поэтому AOB и AOC – равносторонние треугольники со стороной 2, значит,

O1O2 = BC = , OO1 = OO2 = .

Аналогично,

O1O3 = O2O3 = , OO3 = .

Рассмотрим правильный тетраэдр OO1O2O3. Обозначим через α угол, который образует его высота с боковым ребром. Тогда

sin α = , cos α = .

Заметим, что продолжение высоты тетраэдра, проведённой из вершины O , проходит через точку Q .

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно общей касательной m к окружностям с центрами O1и Q , проходящей через их точку касания D (рис.3). Точки O , O1и Q лежат в этой плоскости. Таким образом, мы имеем окружность радиуса 2 с центром O и две её хорды DE и DF , середины которых – точки O1и Q соответственно, а т.к. DE и DF – диаметры окружностей с центрами O1и Q , то O1D = 1и QD = x . Кроме того

DOO1 = 30^o, O1OQ = α, DOQ = O1OQ - DOO1 = α - 30^o.

Следовательно,

x = QD = OD sin DOQ = 2 sin (α - 30^o) = 2( sin α cos 30^o - cos α sin 30^o) =

= 2(· - · ) = 2( - ) = 1 - .

1 - .