Математическая задача: вписать n‑угольник с параллельными сторонами

Проведём через центр окружности n прямых l₁, l₂, ..., l_n, соответственно перпедикулярных данным. Тогда эти прямые будут серединными перпендикулярами к сторонам A₁A₂,

A₂A₃, ..., A_nA₁ искомого n-угольника.

При композиции n симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n вершина A₁ переходит в себя. Пусть n — нечётное число. Тогда рассматриваемая композиция есть симметрия относительно некоторой прямой l, проходящей через вершину A₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ M₁ произвольной точки M данной окружности при композиции симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n, соответственно перпендикулярных данным n прямым. Пересечение серединного перпендикуляра к отрезку MM₁ с данной окружностью есть вершина A₁ искомого n-угольника. Остальные вершины строятся с помощью симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_{n - 1}. Задача имеет два решения.

Пусть n — чётное число. Тогда рассматриваемая композиция представляет собой поворот вокруг центра данной окружности. Из того, что точка A₁ при этом преобразовании переходит в себя, следует, что это поворот на угол, кратный 360^o, т.е. тождественное преобразование.

В этом случае задача имеет бесконечное множество решений. В качестве вершины A₁ можно взять любую точку окружности, не лежащую ни на одной из прямых l₁, l₂, ..., l_n. Это возможно только в случае, когда сумма углов $\alpha_{1}^{}$,

$\alpha_{3}^{}$, ..., $\alpha_{n-1}^{}$ кратна 180^o ( $\alpha_{1}^{}$ — угол между прямыми l₁ и l₂, $\alpha_{3}^{}$ — между l₃ и l₄ и т. д.).

Если это не так, то задача не имеет решений.

Ответ задачи отсутствует