Математическая задача: радиус сферы, касающейся 4 сфер (10–11 класс)

Пусть сфера радиуса r с центром O касается внутренним образом данных сфер с центрами O1, O2, O3и O4. Тогда O – центр правильного тетраэдра O1O2O3O4, ребро которого равно 2. Радиус R сферы, описанной около правильного тетраэдра O1O2O3O4, равен его высоты, т.е.

R = · 2 = .

Следовательно,

r = R + 1 = + 1.

Если сфера радиуса r с центром O касается данных сфер внешним образом, то аналогично находим, что

r = R - 1 = - 1.

1.