Назад

Блоха и симметричные прыжки через прямые на плоскости

Задача 155656 • Сложность: 4 • 8-9 класс
Нет ответа
Задача

На плоскости даны прямые l1, l2, ..., l2n, пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке M плоскости и прыгает через прямую l1, попадая в точку M1, причём M и M1 симметричны относительно прямой l1, далее — через прямую l2 и т.д. Докажите, что если через 2n прыжков блоха оказалась в точке М, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2n прыжков блоха окажется на прежнем месте.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
3
Решение

Из условия задачи следует существование 2n-угольника

M1...M2n, (M2n = M), для которого прямые l1, l2, ..., l2n — серединные перпендикуляры к сторонам MM2, M2M3, ..., M2nM соответственно.

Если $\alpha_{1}^{}$, $\alpha_{2}^{}$, ... $\alpha_{2n}^{}$ — величины углов между прямыми l1 и l2, l2 и l3, ..., l2n и l, содержащих вершины M2, M3, ..., M, то

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n-1}^{}$ = 180o . k,
гдеk— целое, поскольку композиция симметрий относительно данных прямыхl1,l2, ...,l2nесть тождественное преобразование (точкаMостается на месте), т.е. поворот на угол, кратный360o. С другой стороны, композиция симметрий относительно прямых l1 и l2 есть поворот вокруг их точки пересечения на угол 2$\alpha_{1}^{}$, композиция симметрий относительно прямых l3 и l4 — поворот вокруг той же точки на угол $\alpha_{3}^{}$ и т.д. Следовательно, в каком бы начальном положении блоха ни находилась, после 2n прыжков она окажется на прежнем месте.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет