Задача № 216335
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216334
В остроугольном треугольнике ABC (AB < BC) проведены высоты AM и CN. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠ABC = β, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.
Задача № 216333
Около треугольника ABC описана окружность. Диаметр AD пересекает сторону BC в точке E, при этом AC = EC и AE : DE = m. Найдите отношение BE : CE.
Задача № 216332
На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, BM : MC = 2 : 5. Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM : OA и ON : OD.
Задача № 216331
Точки M и N расположены соответственно на диагоналях BD и AC трапеции ABCD, причём BM : MD = CN : NA = 1 : 8. Найдите MN, если известно, что основания AD и BC трапеции равны a и b соответственно.
Задача № 216330
Точки P и Q расположены соответственно на диагоналях AC и BD трапеции ABCD, причём CP : AP = BQ : DQ = 5 : 2. Найдите PQ, если известно, что основания AD и BC трапеции равны a и b соответственно.
Задача № 216329
На диагоналях AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC = a и AD = b расположены точки K и L соответственно, причём CK : KA = BL : LD = 7 : 4. Найдите KL.
Задача № 216328
На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD расположены точки M и N соответственно, причём BM : AM = CN : ND = 3 : 5. Найдите MN, если BC = a и AD = b.
Задача № 216327
В ромб ABCD вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке P, пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AD соответственно в точках N, Q и M, причём MN : NP : PQ = 7 : 1 : 2. Найдите углы ромба.
Задача № 216317
В четырёхугольнике ABCD найдите такую точку E , для которой отношение площадей треугольников EAB и ECD было равно 1:2, а треугольников EAD и EBC — 3:4, если известны координаты всех его вершин: A(-2;-4), B(-2;3), C(4;6), D(4;-1).
Задача № 216316
В четырёхугольнике PQRS найдите такую точку T , для которой отношение площадей треугольников RQT и PST было равно 2:1, а треугольников SRT и PQT — 1:5, если известны координаты всех его вершин: P(6;-2), Q(3;4), R(-3;4), S(0;-2).
Задача № 216314
Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали – большему. Найдите углы трапеции.
Задача № 216309
На стороне AC треугольника ABC взята такая точка D, что окружность, проходящая через точки A, B и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AB = 18, AC = 36 и BD = 15.
Задача № 216308
На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 9, BC = 12 и CD = 6.
Задача № 216298
Стороны AB и AC треугольника равны соответственно a и b . На медиане, проведённой к стороне BC взята точка M . Сумма расстояний от этой точки до прямых AB и AC равна c . Найдите эти расстояния.
Задача № 216295
На продолжениях сторон AB , BC , CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD за точки B , C , D и A соответственно отложены отрезки BB1, CC1, DD1и AA1, равные этим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника A1B1C1D1, если площадь четырёхугольника ABCD равна s .
Задача № 216292
Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.
Задача № 216291
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине C высота CH и биссектриса AK пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник CMK – равнобедренный.
Задача № 216290
На сторонах AB и AC треугольника ABC , площадь которого равна 50, взяты соответственно точки M и K так, что AM:MB = 1:5, а AK:KC = 3:2. Найдите площадь треугольника AMK .
Задача № 216289
Докажите что из двух неравных хорд окружности большая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли обратное?
Задача № 216288
Через каждую точку A , лежащую на данной окружности, проводится касательная и на ней откладывается отрезок AM , равный данному. Найдите геометрическое место точек M .
Задача № 216237
Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360°/n вокруг некоторой точки.
Задача № 216120
Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Найдите угол между прямыми AM и BN.
Задача № 216119
Шестиугольник ABCDEF – правильный, K и M – середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK – правильный.
Задача № 216111
Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P – точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что SABP = SMDNP.
51–75 из 4643