Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 5-8 класса - сложность 3 с решениями
С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.
Даны точки<i> A </i>и<i> B </i>и окружность<i> S </i>. С помощью циркуля и линейки постройте на окружности<i> S </i>такие точки<i> C </i>и<i> D </i>, что<i> AC || BD </i>и дуга<i> CD </i>имеет данную величину<i> α </i>.
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.
Дан треугольник<i> ABC </i>. На его сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>построены внешним образом квадраты<i> ABMN </i>и<i> BCPQ </i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i> MQ </i>и<i> AC </i>образуют квадрат.
На сторонах треугольника<i> ABC </i>построены вне треугольника равносторонние треугольники<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1,<i> ABC</i>1, и проведены отрезки<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника<i> ABC </i>, то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1.
Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом<i> α </i>.
На сторонах треугольника<i> ABC </i>внешним образом построены правильные треугольники<i> ABC</i>1,<i> AB</i>1<i>C </i>и<i> A</i>1<i>BC </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>— середины отрезков<i> A</i>1<i>B</i>1и<i> A</i>1<i>C</i>1. Докажите, что треугольник<i> APQ </i>правильный.
Высоты<i> AA</i>1и<i> BB</i>1треугольника<i> ABC </i>пересекается в точке<i> H </i>. Прямые<i> AC </i>и<i> A</i>1<i>B</i>1пересекаются в точке<i> D </i>. Докажите, что прямая<i> DH </i>перпендикулярна медиане<i> BM </i>треугольника<i> ABC </i>.
Пусть<i> r </i>— радиус вписанной окружности, а<i> r<sub>a</sub> </i>,<i> r<sub>b</sub> </i>и<i> r<sub>c</sub> </i>— радиусы вневписанных окружностей треугольника<i> ABC </i>, касающихся сторон<i> BC=a </i>,<i> AC=b </i>,<i> AB=c </i>соответственно;<i> p </i>— полупериметр треугольника<i> ABC </i>,<i> S </i>— его площадь. Докажите, что а)<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116101/problem_116101_img_2.gif"> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116101/problem_116101_img_3.gif"> + <img align="absmiddle"...
Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> B </i>, середины сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>, а также касается стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>. Угол<i> BAC </i>— острый, и<i> sin <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116100/problem_116100_img_2.gif"> BAC = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116100/problem_116100_img_3.gif"> </i>. Найдите площадь треугольника<i> ABC </i>.
На окружности, описанной около прямоугольника<i> ABCD </i>, выбрана точка<i> K </i>. Оказалось, что прямая<i> CK </i>пересекает отрезок<i> AD </i>в точке<i> M </i>такой, что<i> AM:MD=</i>2. Пусть<i> O </i>— центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника<i> OKD </i>лежит на окружности, описанной около треугольника<i> COD </i>.
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что <i>BP = CP</i>.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
Докажите, что две непересекающиеся окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке<i> M </i>, отличной от точки<i> O </i>, то их образы при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>также касаются, а при инверсии с центром<i> M </i>окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.
Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.
Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.