Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: равенство BP и CP в остроугольном треугольнике
Задача
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.
Решение
Пусть ∠C = γ, Q – точка пересечения прямых BK и CL. Из свойства параллельных прямых и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠PKL = ∠KAB = γ, а так как треугольник AKB равнобедренный, то ∠AKB = 180° – 2γ.
Пусть D и E – точки на продолжениях отрезков соответственно KL и BK за точку K. Тогда ∠DKE = ∠AKB = 180° – 2γ, ∠PKE = 180° – PKL – ∠DKE = γ, значит, KP – биссектриса угла EKA, внешнего угла при вершине K треугольника KQL. Аналогично, LP – биссектриса внешнего угла при вершине L этого треугольника. Поэтому P центр вневписаннной окружности этого треугольника, а QP – биссектриса угла KQL.
Поскольку QB = QC, треугольники PBQ и PCQ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BP = CP.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь