Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: равносторонние треугольники на сторонах треугольника ABC

При повороте на угол60^o вокруг вершины A , переводящем точку C1в B , точка C переходит в точку B1(рис.1). Следовательно, отрезок C1C переходит в отрезок BB1. Поэтому CC1 = BB1. Аналогично докажем, что AA1= BB1. Пусть Q — точка пересечения прямых BB1и CC1. Отрезок C1B виден из точек A и Q под углом60^o . Поэтому точка Q лежит на описанной окружности треугольника ABC1. Аналогично докажем, что точка Q лежит на описанной окружности треугольника CAB1. Поскольку

BQC + BA1C = 120^o + 60^o = 180^o,

то точка Q лежит и на описанной окружности треугольника BCA1. Тогда

AQA1= AQB + BQA1= AQB + BCA1= 120^o + 60^o = 180^o.

Следовательно, прямая AA1проходит через точку Q . Предположим, что AQ<BQ . Рассмотрим образ Q1точки Q , лежащей внутри треугольника ABC , при повороте на60^o относительно точки A , переводящем B в C1(рис.2). При этом повороте треугольник AQB переходит в треугольник AQ1C1, а т.к. треугольник QAQ1равносторонний, то QQ1= AQ и AQQ1=60^o= AQC1. Значит, точка Q1лежит на отрезке C1Q и

C1Q = C1Q1 + Q1Q = BQ + AQ.

Следовательно, C1C = C1Q + QC = BQ + AQ + CQ . Аналогично для отрезков AA1и BB1.

Ответ задачи отсутствует