Олимпиадная задача по планиметрии о треугольнике ABC и окружности радиуса 3
Задача
Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины
сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin 
BAC = 
.
Найдите площадь треугольника ABC .
Решение
Пусть M и N — середины сторон BC и AB соответственно, K — точка касания описанной окружности треугольника BMN со
стороной AC , O —центр окружности, R=3— её радиус.
Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC , поэтому MN || AC , значит, BNM = BSC .
По теореме синусов
BM=2R sin BNM = 2R sin BAC = 2· 3·=
2, BC=2BM = 4.
CK = 
= 
=2
.
Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра O окружности на прямую BC . Тогда P — середина BM , поэтому MP=BP=1и CP=CM+MP = 2+1=3. Из порямоугольного треугольника BOP находим, что
OP=
=
=2.
Прямоугольные треугольники OKC и CPO равны по двум катетам
( OK=CP=3и CK=OP=2 ), поэтому COK =
OCP , а т.к. KCO=90o- COK , то OCP+ KCO = 90o . Таким образом,
треугольник ABC — прямоугольный. Тогда
AB=
= 
=12,
AC=
=8.
SΔ ABC=
AC· BC =
· 8 · 4 = 16.
Ответ
16 .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь