Олимпиадная задача по планиметрии: правильность треугольника APQ (8-9 класс)
Задача
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC . Пусть P и Q — середины отрезков A1B1и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.
Решение
При повороте на60o относительно точки A , переводящем точку C в точку B1, равносторонний треугольник A1BC переходит в равносторонний треугольник A2MB1. Поэтому B1A2 = MA2 = BA1, а т.к. угол между прямыми A1C и BA1равен60o , то прямая A1C переходит в прямую B1A2, параллельную BA1, т.е. B1A2 || BA1. Следовательно, BA1A2B1— параллелограмм. Поэтому середина P его диагонали B1A1является серединой диагонали BA2. При рассматриваемом повороте отрезок C1A1переходит в отрезок BA2. Поэтому середина Q отрезка C1A1переходит в середину P отрезка BA2. Следовательно, треугольник APQ — равносторонний.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь