Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: радиусы вписанных и вневписанных окружностей треугольника
Нет ответа
Задача
Пусть r — радиус вписанной окружности, а ra , rb и rc —
радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся
сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр
треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что
а) 
= 
+ 
; б) S = 
.
Решение
Известно, что S=pr , поэтому =
.
Пусть O — центр окружности радиуса ra , касающейся стороны BC=a треугольника ABC в точке Q , а продолжений сторон AB=c и AC=b — в точках M и N соответственно. Тогда
S= SΔ AOB+SΔ AOC-SΔ BOC=
AB· OM + AC· ON - BC· OQ=
= c · ra+b· ra-a·
ra= 
ra= (p-a)ra.
. Аналогично, rb=
и rc=
, поэтому
++=
+
+
=
=
==.
По формуле Герона
S=
=
= 
=
.
=S .
Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет