Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: точка медиан в треугольнике OKD

Пусть прямая CK пересекает диагональ BD в точке N , продолжение стороны AB — в точке T , а окружность S , описанную около треугольника COD — в точке P . Треугольник AMT подобен треугольнику DMC с коэффициентом 2, поэтому AT=2CD=2AB . Тогда BT=3AB и треугольник BNT подобен треугольнику DNC с коэффициентом 3. Если DN=t , то BO=3t , а т.к. O — середина BD , то OD=2t , поэтому ON=OD-DN=2t-t=t . Значит, N — середина OD , а KN — медиана равнобедренного треугольника OKD . Пусть луч OP пересекает основание KD треугольника OKD в точке F . Докажем, что OF — также медиана треугольника OKD . Тогда точка P , лежащая на окружности S , будет точкой пересечения медиан треугольника KOD . Действительно, вписанные в окружность S углы DOP и DCP опираются на одну и ту же дугу, поэтому DOP= DCP . С другой стороны, центральный угол DOK описанной окружности прямоугольника ABCD вдвое больше висанного в эту окружность угла DCK , поэтому DOK = 2 DCK = 2 DOP , и луч OP — биссектриса угла DOK . Следовательно, OF — биссектриса, а значит, и медиана равнобедренного треугольника OKD . Что и требовалось доказать.

Обозначим CAD = α , DCK = β , R и r — радиусы окружностей, описанных около прямоугольника ABCD и треугольника COD соответственно. Пусть P — отличная от C точка пересечения отрезка CK с описанной окружностью треугольника COD . Тогда DOP = PCD = β , а т.к. центральный угол KOD вдвое больше вписанного угла KCD , то KOD = 2 KCD = 2β , значит, луч OP — биссектриса угла KOD при вершине равнобедренного треугольника OKD . Пусть луч OP пересекает основание этого треугольника в точке F . Тогда OF — медиана треугольника OKD . Докажем, что P — точка пересечения медиан треугольника OKD . Для этого достаточно доказать, что = . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что CD=AC sin CAD = 2R sin α . С другой стороны, по теореме синусов CD=2r sin COD = 2r sin 2α , значит,2R sin α=2r sin 2α , откуда

= =.

Из прямоугольных треугольников CDM и ACD находим, что

DM = CD tg DCM = 2R sin α tg β, AD=AC cos CAD = 2R cos α,

а т.к. AD = 3DM , то2R cos α=3· 2R sin α tg β , откуда tg α· tg β = . По теореме синусов

OP=2r sin OCP =2r sin (90^o-α - β)= 2r cos (α+β).

Из прямоугольного треугольника ODF находим, что

OF = OD cos DOF = R cos β,

поэтому

== · = · =

==1- tg α tg β = 1-=.

Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует