Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Нижним основанием призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1является правильный треугольник<i> ABC </i>со стороной2<i>a </i>. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной<i> AB </i>и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус шара, проходящего через вершины<i> A </i>,<i> B </i>,<i> A</i>1,<i> C</i>1равен2<i>a </i>. Найдите объём призмы. (Найдите все решения).

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1сторона верхнего основания<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро<i> B</i>1<i>C</i>1перпендикулярно к плоскости сечения<i> AD</i>1<i>C </i>, делит площадь грани<i> AA</i>1<i>D</i>1<i>D </i>на две равные части. Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1сторона верхнего основания<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро<i> B</i>1<i>C</i>1перпендикулярно к плоскости<i> AD</i>1<i>C </i>, делит пирамиду на две части равного объёма. Найдите объём пирамиды.

Сторона<i> BC </i>основания четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>и медианы<i> BM </i>и<i> CN </i>граней<i> SAB </i>и<i> SDC </i>лежат в одной плоскости. Вершина конуса совпадает с вершиной<i> S </i>пирамиды, а окружность основания конуса вписана в четырёхугольник<i> BMNC </i>и касается стороны<i> BC </i>в её середине. Точки касания этой окружности с отрезками<i> BM </i>и<i> CN </i>являются точками пересечения медиан граней<i> SAB </i>и<i> SDC </i>. Найдите отношение объёма конуса к объёму пирамиды.

Две равные сферы<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней<i> P </i>и<i> Q </i>прямого двугранного угла. Сфера<i> S</i>1касается грани<i> P </i>в точке<i> A </i>. Через эту точку проведена прямая, пересекающая сферу<i> S</i>1в точке<i> B </i>, касающаяся сферы<i> S</i>2в точке<i> C </i>и пересекающая грань<i> Q </i>в точке<i> D </i>. Прямая<i> AD </i>составляет с гранью<i> P </i>угол30<i>^o </i>. Найдите отношение<i> AB:BC:CD </i>.

Основанием прямого параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1является квадрат<i> ABCD </i>со стороной 1. Длина каждого из боковых рёбер<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1равна<i> <img src="/storage/problem-media/111593/problem_111593_img_2.gif"> </i>. Прямой круговой цилиндр расположен так, что точки<i> A </i>,<i> A</i>1,<i> D </i>лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна диагонали<i> BD</i>1параллелепипеда. Найдите радиус цилиндра.

Основанием пирамиды<i> ABCD </i>является правильный треугольник<i> ABC </i>со стороной 12. Ребро<i> BD </i>перпендикулярно плоскости основания и равно10<i><img src="/storage/problem-media/111592/problem_111592_img_2.gif"> </i>. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро<i> BD </i>и плоскость<i> ABC </i>. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).

Сторона основания<i> ABC </i>правильной призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1равна 1, а каждое из боковых рёбер имеет длину<i> <img src="/storage/problem-media/111591/problem_111591_img_2.gif"> </i>. Прямой круговой цилиндр расположен так, что точка<i> A</i>1и середина<i> M </i>ребра<i> CC</i>1лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна прямой<i> AB</i>1и отстоит от неё на расстоянии<i> <img src="/storage/problem-media/111591/problem_111591_img_3.gif"> </i>. Найдите радиус цилиндра.

Основанием прямого параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1является квадрат<i> ABCD </i>со стороной 4, а длина каждого бокового ребра<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1равна 6. Прямой круговой цилиндр расположен так, что его ось лежит в плоскости<i> BB</i>1<i>D</i>1<i>D </i>, а точки<i> A</i>1,<i> C</i>1,<i> B</i>1и центр<i> O </i>квадрата<i> ABCD </i>лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).

Две равные сферы<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней<i> P </i>и<i> Q </i>двугранного угла величины2<i>α </i>. Сфера<i> S</i>1касается грани<i> P </i>в точке<i> A </i>, а сфера<i> S</i>2касается грани<i> Q </i>в точке<i> B </i>. В каком отношении отрезок<i> AB </i>делится сферами?

В пирамиде<i> MNPQ </i>плоские углы<i> QMN </i>,<i> MNP </i>,<i> NPQ </i>– прямые. Вершины<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>правильного тетраэдра расположены соответственно на рёбрах<i> MP </i>,<i> NP </i>,<i> NQ </i>,<i> PQ </i>пирамиды<i> MNPQ </i>. Ребро<i> AB </i>параллельно ребру<i> MN </i>. Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра<i> ABCD </i>и пирамиды<i> MNPQ </i>

Сторона основания<i> MNP </i>правильной пирамиды<i> MNPQ </i>равна 5. Основанием правильной пирамиды<i> SABCD </i>является квадрат<i> ABCD </i>. Все вершины пирамиды<i> SABCD </i>расположены на рёбрах пирамиды<i> MNPQ </i>, причём вершина<i> S </i>лежит на ребре<i> QM </i>и<i> MS=<img src="/storage/problem-media/111587/problem_111587_img_2.gif">MQ </i>. Найдите объём пирамиды<i> SABCD </i>.

В пирамиде<i> ABCD </i>плоские углы<i> DAB </i>,<i> ABC </i>,<i> BCD </i>– прямые. Вершины<i> M </i>,<i> N </i>,<i> P </i>,<i> Q </i>правильного тетраэдра расположены соответственно на рёбрах<i> AC </i>,<i> BC </i>,<i> AB </i>,<i> BD </i>пирамиды<i> ABCD </i>. Ребро<i> MN </i>параллельно ребру<i> AB </i>. Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра<i> MNPQ </i>и пирамиды<i> ABCD </i>

В пирамиде<i> ABCD </i>длина каждого из рёбер<i> AB </i>и<i> CD </i>равна 4, длина каждого из остальных рёбер равна 3. В эту пирамиду вписана сфера. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются точки касания сферы с гранями пирамиды<i> ABCD </i>.

Сторона основания<i> ABC </i>правильной призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1равна<i> a </i>. Точки<i> M </i>и<i> N </i>являются соответственно серединами рёбер<i> AC </i>и<i> A</i>1<i>B</i>1. Проекция отрезка<i> MN </i>на прямую<i> BA</i>1равна<i> <img src="/storage/problem-media/111433/problem_111433_img_2.gif"> </i>. Определите высоту призмы (найдите все решения).

Основанием пирамиды<i> SABCD </i>служит квадрат<i> ABCD </i>со стороной 4, боковое ребро<i> SB </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 3. Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на боковой поверхности конуса с вершиной в точке<i> S </i>, а точка<i> D </i>лежит в плоскости основания этого конуса. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Сторона основания<i> ABC </i>правильной треугольной пирамиды<i> SABC </i>равна<i> a </i>, боковое ребро равно<i> <img src="/storage/problem-media/111431/problem_111431_img_2.gif"> </i>. Вершина конуса находится в центре основания пирамиды. Точка<i> C </i>и середины рёбер<i> SA </i>и<i> SB </i>лежат на боковой поверхности конуса, а вершина<i> S </i>пирамиды – в плоскости его основания. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Основанием пирамиды служит квадрат<i> ABCD </i>со стороной 1,5, боковое ребро<i> SC </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1,75. Точки<i> S </i>,<i> B </i>и<i> D </i>лежат на боковой поверхности конуса с вершиной в точке<i> A </i>, а точка<i> C </i>– в плоскости основания этого конуса. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

В основании прямой призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1лежит прямоугольный треугольник с катетами<i> AB=</i>8и<i> BC=</i>6. Гипотенуза<i> AC </i>является диаметром основания конуса, вершина которого расположена на ребре<i> A</i>1<i>B</i>1. Боковая поверхность конуса пересекает ребро<i> AB </i>в точке<i> M </i>так, что<i> AM=</i>5. Найдите объём конуса.

Две сферы пересечены плоскостью, параллельной их линии центров. Эта плоскость делит площадь поверхности одной сферы в отношении<i> m:</i>1, а площадь поверхности другой – в отношении<i> n:</i>1(<i> m></i>1,<i> n></i>1). Найдите отношение радиусов сфер.

На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь части поверхности сферы, лежащей вне конуса, равна площади основания конуса. Найдите угол в осевом сечении конуса.

Две сферы с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересечены плоскостью<i> P </i>, перпендикулярной отрезку<i> O</i>1<i>O</i>2и проходящей через его середину. Плоскость<i> P </i>делит площадь поверхности первой сферы в отношении<i> m:</i>1, а площадь поверхности второй сферы в отношении<i> n:</i>1(<i> m></i>1,<i> n></i>1). Найдите отношение радиусов этих сфер.

На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь поверхности части сферы, лежащей внутри конуса, равна площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Найдите угол в осевом сечении конуса.

В правильной четырёхугольной пирамиде<i> SABCD </i>боковое ребро<i> SA </i>и диагональ<i> BD </i>основания образуют равные углы с плоскостью боковой грани<i> SBC </i>. Найдите угол между ребром<i> SA </i>и плоскостью<i> SBC </i>.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна<i> a </i>, угол между апофемой и боковой гранью равен<i> <img src="/storage/problem-media/111423/problem_111423_img_2.gif"> </i>. Найдите высоту пирамиды.