Олимпиадная задача по стереометрии: объём конуса в призме (10-11 класс)

Пусть O середина AC (центр основания конуса), S – вершина конуса, SK – образующая конуса, проходящая через точку M . Опустим перпендикуляр ON из точки O на ребро AB . Плоскости граней ABC и AA1B1B перпендикулярны, т.к. призма – прямая. Поэтому прямая ON перпендикулярна плоскости AA1B1B . Тогда отрезок NS – ортогональная проекция высоты OS конуса на плоскость AA1B1B . В то же время, точка N – проекция центра основания конуса на плоскость, проходящую через образующие SA и SK , поэтому N лежит на биссектрисе SE равнобедренного треугольника ASK .

Отрезок ON – средняя диния прямоугольного треугольника ABC , поэтому ON = BC = 3, а т.к. N – середина AB , то

MN = BN-BM=AB- MB = 4-(8-5) = 1.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ASK , расположенный в плоскости AA1B1B . Его медиана SE пересекается с отрезком AM в точке N и при этом AN=4и MN=1. Через точку E проведём прямую, параллельную AM . Пусть эта прямая пересекается с SK в точке F . Тогда EF – средняя линия треугольника AMK , поэтому EF = AM= . Из подобия треугольников SNM и SEF находим, что

= = = .

Следовательно, = .

Положим SN = 2t , NE=3t . Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE . Его высота ON , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу SE на отрезки SN = 2t и NE=3t , поэтому SN· NE = ON2, или6t2=9, откуда находим, что t2= . Тогда

SO2 = SN· SE = 2t(2t+3t)=10t2 = 10t2= 10· = 15.

Пусть V – объём конуса. тогда

V=π OA2· SO = π · 25· = 25π .

25π .