Задание олимпиады по стереометрии: Найдите высоту призмы по проекции отрезка

Пусть K и F – середины BC и AB соответственно. Тогда MK и MF – средние линии треугольника ABC . На продолжении отрезка MK за точку M отложим отрезок ML=MK= . Поскольку MLA1N – параллелограмм, A1L=MN и A1L || MN . Тогда угол между скрещивающимися прямыми MN и BA1равен углу между пересекающимися прямыми LA1и A1B . Пусть этот угол равен α , а высота призмы равна h .

Из прямоугольных треугольников BAA1и MFN находим, что

A1B = = , MN = = .

Тогда A1L=MN = .

Из равенства треугольников AML и CMK следует, что AL=CK = и AL || BC , поэтому BAL = 180^o - ABC = 120^o .

По теореме косинусов

BL2 = AL2+AB2-2AL· AB cos 120^o = +a2+= ,

cos α = = = .

Пусть PQ – проекция отрезка MN на прямую BA1, PQ= . Известно, что ортогональная проекция отрезка на прямую равна произведению длины отрезка на косинус угла между отрезком и этой прямой, поэтому PQ = MN· cos α , или

=· ,

= , = , 24h4-13a2h2+a4=0,

откуда h= или h= .

, .