Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 класса: конус и сфера

Пусть угол при вершине A осевого сечения ABC конуса равен2α , O – центр сферы радиуса R , построенной на высоте AH конуса как на диаметре, ED – лежащий в плоскости ABC диаметр окружности, по которой персекаются сфера и боковая поверхность конуса, M – центр этой окружности. Тогда ADH = 90^o , HDM = DAH = α .

Из прямоугольных треугольников ADH и DMH находим, что

DH = AH sin α = 2R sin α, AD = AH cos α = 2R cos α,

DM = AD sin α = 2R cos α sin α, MH = DH sin α = 2R sin2 α.

Пусть S1– площадь поверхности части сферы лежащей внутри конуса, S2– площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Тогда

S1=2π R· MH = 2π R· 2R sin2 α = 4π R2 sin2 α,

S2 = π MD· AD = π · 2R cos α sin α · 2R cos α= 4π R2 sin α cos2 α.

По условию задачи S1=S2, т.е.4π R2 sin2 α=4π R2 sin α cos2 α , или

sin α = cos2 α sin α = 1- sin2 α.

Из этого уравнения находим, что sin α = . Тогда

cos 2α = 1-2 sin2 α = -2.

arccos (-2).