Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов: высота правильной пирамиды

Пусть M и N – середины сторон AB и AC основания ABC правильной треугольной пирамиды DABC , DH – высота пирамиды. Обозначим DMH = DNH = β . Из точки M опустим перпендикуляр MM1на плоскость грани ACD . По условию задачи MDM1 = 45^o .

Из прямоугольных треугольников DMH и DMM1находим, что

DM = = = ,

MM1 = DM cos MDM1 = DM cos 45^o = · = .

Пусть BK – перпендикуляр, опущенный из точки B на апофему DN пирамиды. Поскольку прямая BK перпендикулярна двум пересекающися прямым DN и AC плоскости ADC , прямая BK перпендикулярна этой плоскости. Из прямоугольного треугольника BKN находим, что

BK = BN sin β = sin β.

Поскольку MM1и BK перпендикулярны одной и той же плоскости, MM1 || BK , а т.к. M – середина наклонной AB к плоскости ADC , то

BK = 2MM1 = 2· = .

Тогда получим уравнение sin β= . После возведения обеих его частей в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение

9 sin2 β cos2 β = 2 9(1- cos2 β) cos2 β = 2 9 cos4 β -9 cos2 β + 2 = 0,

откуда cos2 β = или cos2 β = . Тогда

tg β = = =

или

tg β = = = .

Следовательно,

DH = MH tg β = · =

или

DH = MH tg β = · = .

, .