Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов: площадь боковой поверхности конуса

Пусть лучи AB , AD и AS пересекают окружность основания конуса в точках B1, D1и S1соответственно. Тогда отрезки AB1, AD1и AS1– образующие конуса. Плоскость основания конуса пересекается с плоскостью ABCD по прямой B1D1, а т.к. точка C , лежащая в плоскости ABCD , лежит также в плоскости основания конуса, то эта точка лежит на отрезке B1D1. Кроме того, поскольку AB1=AD1и AB= AD , прямая B1D1параллельна диагонали BD квадрата ABCD .

Противоположные стороны четырёхугольника BDCB1попарно параллельны, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм, поэтому BB1=CD=AB= и AB1=3. Аналогично, AD1=3. Тогда B1D1 = 3 .

Из прямоугольного треугольника BCS находим, что

BS = = = .

Обозначим SAB = α , S1B1D1 = S1D1B1 = β . Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что треугольник ABS – прямоугольный, ABS = 90^o . Тогда

tg α = = = , cos α = = = .

По теореме косинусов

B1S1 = = = 3.

Из прямоугольного треугольника B1CS1находим, что

cos β = = = ,

тогда

sin β = = = .

Найдём радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника B1S1D1. Точки B1, S1и D1лежат на окружности основания конуса, поэтому R – радиус основания конуса. По теореме синусов

R = = = .

Пусть S_бок.– площадь боковой поверхности конуса. Тогда

S_бок. = π R· AB1 = π · · 3 = .

.