Олимпиадная задача по стереометрии: отношение радиусов двух сфер 10

Олимпиадная задача по стереометрии: отношение радиусов двух сфер для 10–11 классов

Задача

Две сферы с центрами O1и O2пересечены плоскостью P , перпендикулярной отрезку O1O2и проходящей через его середину. Плоскость P делит площадь поверхности первой сферы в отношении m:1, а площадь поверхности второй сферы в отношении n:1( m>1, n>1). Найдите отношение радиусов этих сфер.

Решение

Пусть R1и R2– радиусы сфер с центрами O1и O2соответственно, M – середина отрезка O1O2, A и B – точки пересечения первой и второй сфер с отрезком O1O2. Обозначим AM=h1, BM=h2.

Применяя формулу площади поверхности сферического сегмента, получим, что

= , = ,

откуда

h1=, h2=.

Так как O1M = O1A-AM = R1-h1и O2M = O2B-BM = R2-h2, а M – середина O1O2, то R1-h1=R2-h2, или h1-h2=R1-R2. Подставив в это равенство найденные ранее выражения для h1и h2, получим, что

-=R1-R2.