Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Площадь четырёхугольника равна 3 см<i> </i>2, а длины его диагоналей 6 см и 2 см. Найдите угол между диагоналями.

Точка<i> C </i>— середина отрезка<i> AB </i>. На произвольном луче, проведённом из точки<i> C </i>и не лежащем на прямой<i> AB </i>, выбраны три точки<i> P </i>,<i> M </i>и<i> Q </i>так, что<i> PM=MQ </i>. Докажите, что<i> AP+BQ> </i>2<i>CM </i>.

Основания <i>BC</i> и <i>AD</i> трапеции <i>ABCD</i> равны <i>a</i> и <i>b</i>. Проведены четыре прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции, и расположите найденные величины по возрастанию.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию <i>ABCD</i> с основаниями  <i>BC = a</i>  и  <i>AD = b</i>.  Точка <i>H</i> – проекция вершины <i>B</i> на <i>AD</i>, точка <i>P</i> – проекция точки <i>H</i> на <i>AB</i>, точка <i>F</i> лежит на отрезке <i>BH</i>, причём  <i>FH = AH</i>.  Найдите <i>AB, BH, BP, DF</i> и расположите найденные величины по возрастанию.

Точка <i>M</i> лежит вне окружности с центром <i>O</i>. Прямая <i>OM</i> пересекает окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>, прямая, проходящая через точку <i>M</i>, касается окружности в точке <i>C</i>, точка <i>H</i> – проекция точки <i>C</i> на <i>AB</i>, а перпендикуляр к <i>AB</i>, восставленный в точке <i>O</i>, пересекает окружность в точке <i>P</i>. Известно, что  <i>MA = a</i>  и  <i>MB = b</i>.  Найдите <i>MO, MC, MH, MP</i> и расположите найденные значения по возрастанию.

Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 240. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь треугольника <i>MON</i>, если одно из оснований трапеции втрое больше другого.

Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 240. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>OMPN</i>, если одно из оснований трапеции втрое больше другого.

Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 405. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь треугольника <i>MON</i>, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 90. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>OMPN</i>, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внешней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

В треугольнике <i>KLM  KM</i> = 15,  <i>LM</i> = 12,  cos∠<i>M</i> = &frac25;,  <i>KE</i> – высота. Через точку <i>E</i> проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону <i>KM</i> в точке <i>F</i>. Найдите <i>EF</i>.

Точка <i>P</i> – основание высоты треугольника со сторонами 6, 7, 8, опущенной на сторону, равную 7. Через точку <i>P</i>, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 6, в точке <i>Q</i>. Найдите <i>PQ</i>.

Точка <i>H</i> – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14, опущенной на сторону, равную 12. Через точку <i>H</i>, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке <i>M</i>. Найдите <i>HM</i>.

В треугольнике <i>ABC  AB</i> = 18,  <i>BC</i> = 16,  cos∠<i>B</i> = ⁴/₉,  <i>AH</i> – высота. Через точку <i>H</i>, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону <i>AB</i> в точке <i>M</i>. Найдите <i>HM</i>.

Точка <i>M</i> делит среднюю линию треугольника <i>ABC</i>, параллельную стороне <i>BC</i>, на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. Точка <i>N</i> делит сторону <i>BC</i> на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая <i>MN</i> делит площадь треугольника <i>ABC</i>?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>D</i>, причём  ∠<i>BCD</i> = ∠<i>A</i>.  Известно, что  <i>BC = a,  AC = b,  AB = c</i>.  Найдите <i>CD</i>.

Окружность<i> S</i>1проходит через центр окружности<i> S</i>2и пересекает её в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Хорда<i> AC </i>окружности<i> S</i>1касается окружности<i> S</i>2в точке<i> A </i>и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как5<i>:</i>7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность<i> S</i>2делится окружностью<i> S</i>1.

На продолжении диаметра<i> AB </i>окружности отложен отрезок<i> BC </i>, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку<i> C </i>, касается окружности в точке<i> M </i>. Найдите площадь треугольника<i> ACM </i>, если радиус окружности равен<i> R </i>.

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Окружности с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2касаются внешним образом в точке<i> C </i>. Прямая касается этих окружностей в различных точках<i> A </i>и<i> B </i>соответственно. Найдите угол<i> AO</i>2<i>B </i>, если известно, что<i> tg <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115573/problem_115573_img_2.gif"> ABC = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115573/problem_115573_img_3.gif"> </i>.

Из точки<i> M </i>, лежащей вне окружности с центром<i> O </i>и радиусом<i> R </i>, проведены касательные<i> MA </i>и<i> MB </i>(<i> A </i>и<i> B </i>— точки касания). Прямые<i> OA </i>и<i> MB </i>пересекаются в точке<i> C </i>. Найдите<i> OC </i>, если известно, что отрезок<i> OM </i>делится окружностью пополам.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон соответственно <i>BC</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i>. Отрезки <i>AM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Найдите отношение  <i>MO</i> : <i>OA</i>.