Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: радиусы окружностей в треугольнике
Задача
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.
Решение
Пусть CD — высота равнобедренного тругольника ABC со сторонами AC=BC=13и AB=24, O — центр его описанной окружности радиуса R , Q — центр вписанной окружности радиуса r . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что
CD=
=
=5,
sin 
CAD = 
=
.
R=
=
=
16,9.
Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр, поэтому
r=
= 
=
=2,4.
Заметим, что угол CAD меньше45o , т.к. его
тангенс меньше 1 ( tg CAD = =
<1),
значит, угол ACB — тупой, поэтому точки O и Q лежат
по разные стороны от прямой AB . Следовательно,
OQ=OC-CQ=OC-(CD-QD)=R-(CD-r)=16,9-(5-2,4)=14,3.
Ответ
16,9;2,4;14,3.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь