Олимпиадная задача по планиметрии: радиус окружности, касающейся двух других и общей касательной

Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R , общая внешняя касательная касается этих окружностей соответственно в точках A и B и при этом a r+R , то AB = Действительно, пусть O1и O2— центры окружностей радиусов r и R соответственно (рис.1). Из точки O1опустим перпендикуляр O1F на прямую O2B . Из прямоугольного треугольника O1FO2находим, что

O1F== .

Следовательно, AB=O1F= . Утверждение доказано. В частности, если окружности касаются внешним образом, то a=R+r . В этом случае

AB==2.

Пусть x — радиус искомой окружности, C — её точка касания с прямой AB . По доказанному

AB==15,

AC==2, BC==2=6.

Если искомая окружность касается прямой AB в точке C , лежащей между A и B (рис.2), то AC+CB=AB , или2+6=15. Тогда = . Следовательно, x= . Если искомая окружность касается прямой AB в точке C , лежащей на продолжении отрезка AB (рис.3), то CB-AC=AB , или6-2=15. Тогда = . Следовательно, x= . Пусть искомая окружность радиуса x касается прямой AB , внутренним образом касается окружности с центром O1в точке A , а внешним образом — окружности с центром O2(рис.4). Тогда AB=2 , или15=6 , откуда находим, что x= . Наконец, если искомая окружность радиуса x касается прямой AB , внутренним образом касается окружности с центром O2в точке B , а внешним образом — окружности с центром O1(рис.5), то аналогично получим уравнение15 = 2 , из которого находим, что x= .

, , или .