Олимпиадная задача по планиметрии: площадь четырехугольника OMPN в трапеции, 8-9 класс
Задача
Площадь трапеции ABCD равна 90. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника OMPN, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Решение
Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD = 2BC (см. рис.).
Треугольники ACD и BAC имеют равные высоты. Поэтому SACD : SBAC = 2 : 1, то есть SACD = ⅔ SABCD = 60. Треугольники BOC и DOA подобны с коэффициентом ½. Следовательно, SAOD = ⅔ SACD = 40.
BCDP – параллелограмм, N – его центр, поэтому SDNP = ¼ SACD = 15. Аналогично SAMP = 15. Следовательно, SOMPN = SAOD – SAMP – SDNP = 10.
SDNP = SAMP = ⅕ SACP = 3. Следовательно, SOMPN = SAOD – SAMP – SDNP = 4.
Ответ
10 или 4.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь