Олимпиадная задача по планиметрии: сумма расстояний между серединами сторон в четырёхугольнике

Пусть K , L , M , N — середины сторон соответственно AB , BC , CD , AD четырёхугольника ABCD . Предположим, что прямые BC и AD не параллельны. Пусть C1и D1— вершины параллелограммов KBCC1и AKD1D . Тогда

CC1=BK=AK=DD1, CM=MD, MCC1= MDD1,

значит, треугольники MCC1и MDD1равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому CMC1= DMD1. Следовательно, точки C1MD1лежат на одной прямой, a KM — медиана треугольника C1KD1. Тогда

KM<(KC1+KD1) =(BC+AD).

Аналогично LN<(AB+CD), поэтому

KM+LN< (BC+AD)+(AB+CD)= (BC+AD+AB+CD),

что противоречит условию задачи. Следовательно, BC || AD и AB || CD , т.е. четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Так как

=(+), =(+),

то

+= (++ +).

По условию задачи KM+NL=(BC+AD+AB+DC), а это возможно только в случае, когда вектор коллинеарен вектору и вектор коллинеарен вектору . Следовательно, BC || AD и AB || CD , т.е. четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Ответ задачи отсутствует