Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Дан треугольник<i> ABC </i>. На его стороне<i> AB </i>выбирается точка<i> P </i>и через неё проводятся прямые<i> PM </i>и<i> PN </i>, параллельные<i> AC </i>и<i> BC </i>соответственно (точки<i> M </i>и<i> N </i>лежат на сторонах<i> BC </i>и<i> AC </i>);<i> Q </i>— точка пересечения описанных окружностей треугольников<i> APN </i>и<i> BPM </i>, отличная от<i> P </i>. Докажите, что все прямые<i> PQ </i>проходят через фиксированную точку.
Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>— их радиусы,<i> <font face="symbol">a</font> = <img src="/storage/problem-media/115282/problem_115282_img_2.gif"> </i>,<i> <font face="symbol">b</font> = <img src="/storage/problem-media/115282/problem_115282_img_3.gif"> </i>,<i> <font face="symbol">g</font> = <img src="/storage/problem-media/115282/problem_115282_img_4.gif"> </i>,<i> <font face="symbol">d</font> = <img src="/storage/problem-media/115282/problem_115282_img_5.gif"...
В треугольнике <i>ABC</i> заданы длины двух сторон: <i>AB</i> = 6, <i>BC</i> = 16. Кроме того, известно, что центр окружности, проведённой через вершину <i>B</i> и середины сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>, лежит на биссектрисе угла <i>C</i>. Найдите <i>AC</i>.
Точка <i>M</i> – середина хорды <i>AB</i>. Хорда <i>CD</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>M</i>. На отрезке <i>CD</i> как на диаметре построена полуокружность. Точка <i>E</i> лежит на этой полуокружности, и <i>ME</i> – перпендикуляр к <i>CD</i>. Найдите угол <i>AEB</i>.
В произвольный треугольник вписана окружность. Проведём три касательные к ней, параллельно сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося шестиугольника не превосходит<i> <img src="/storage/problem-media/115279/problem_115279_img_2.gif"> </i>периметра исходного треугольника.
Ромб и равнобокая трапеция описаны около одной и той же окружности и имеют одинаковые площади. Найдите их острые углы.
В трапеции<i> ABCD </i>известно, что<i> AB=BC=CD </i>. Диагонали трапеции пересекаются в точке<i> O </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> ABO </i>, пересекает основание<i> AD </i>в точке<i> E </i>. Докажите, что<i> BEDC </i>— ромб.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> – середины сторон соответственно <i>BC, AC, AB</i> треугольника <i>ABC</i>. Известно, что <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i> – биссектрисы углов треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высота <i>BH</i> и медиана <i>AM</i>. Известно, что угол <i>MCA</i> в два раза больше угла <i>MAC, BC</i> = 10.
Найдите <i>AH</i>.
В равнобокой трапеции одно из оснований в три раза больше другого. Угол при большем основании равен45<i><sup>o</sup> </i>. Покажите, как разрезать трапецию на три части и сложить из них квадрат. Обоснуйте решение.
На диагонали <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что ∠<i>AKB</i> = ∠<i>ADC</i>. Пусть <i>I</i> и <i>I'</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ACD</i> и <i>ABK</i> соответственно. Отрезки <i>II'</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что точки <i>A, X, I, D</i> лежат на одной окружности.
Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
Длины сторон треугольника различны и образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна одной из сторон треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведены высота <i>CD</i>, и биссектриса <i>CF, DK</i> и <i>DL</i> – биссектрисы треугольников <i>BDC</i> и <i>ADC</i>.
Докажите, что <i>CLFK</i> – квадрат.
Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> B </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную окружность треугольника в точках<i> A</i>1и<i> B</i>1. Вписанная окружность касается сторон<i> AC </i>и<i> BC </i>в точках<i> A</i>2и<i> B</i>2. Докажите, что<i> A</i>1<i>B</i>1<i> || A</i>2<i>B</i>2.
Из точки<i> D </i>окружности<i> S </i>опущен перпендикуляр<i> DC </i>на диаметр<i> AB </i>. Окружность<i> S</i>1касается отрезка<i> CA </i>в точке<i> E </i>, а также отрезка<i> CD </i>и окружности<i> S </i>. Докажите, что<i> DE </i>— биссектриса треугольника<i> ADC </i>.
Хорда<i> AB </i>разбивает окружность<i> S </i>на две дуги. Окружность<i> S</i>1касается хорды<i> AB </i>в точке<i> M </i>и одной из дуг в точке<i> N </i>. Докажите, что
а) прямая<i> MN </i>проходит через середину<i> P </i>второй дуги;
б) длина касательной<i> PQ </i>к окружности<i> S</i>1равна<i> PA </i>.
На трёх отрезках <i>OA, OB</i> и <i>OC</i> одинаковой длины (точка <i>B</i> лежит внутри угла <i>AOC</i>) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку <i>O</i>, равна половине площади (обычного) треугольника <i>ABC</i>.
Точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>— середины сторон соответственно<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CD </i>и<i> AD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>площади<i> s </i>. Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых<i> AL </i>,<i> AM </i>,<i> CK </i>и<i> CN </i>.
Из точки <i>M</i> окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, опустили перпендикуляры <i>MQ</i> и <i>MP</i> на две его противоположные стороны и перпендикуляры <i>MR</i> и <i>MT</i> на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые <i>PR</i> и <i>QT</i> перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника <i>ABCD</i>.
На сторонах произвольного остроугольного треугольника<i> ABC </i>как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три "внешних" криволинейных треугольника и один "внутренний" (см. рис.1). Докажите, что если из суммы площадей "внешних" треугольников вычесть площадь "внутреннего", то получится удвоенная площадь треугольника<i> ABC </i>.
Пусть <i>O<sub>a</sub>, O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i> – центры описанных окружностей треугольников <i>PBC, PCA</i> и <i>PAB</i>.
Докажите, что если точки <i>O<sub>a</sub></i> и <i>O<sub>b</sub></i> лежат на прямых <i>PA</i> и <i>PB</i>, то точка <i>O<sub>c</sub></i> лежит на прямой <i>PC</i>.
Пусть <i>a</i> – длина стороны правильного пятиугольника, <i>d</i> – длина его диагонали. Докажите, что <i>d</i>² = <i>a</i>² + <i>ad</i>.
Диагонали<i> AC </i>и<i> BE </i>правильного пятиугольника<i> ABCDE </i>пересекаются в точке<i> K </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> CKE </i>касается прямой<i> BC </i>.
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i> угол <i>ABC</i> вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.