Олимпиадная задача по планиметрии: арифметическая прогрессия сторон треугольника
Задача
Длины сторон треугольника различны и образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна одной из сторон треугольника.
Решение
Если числа образуют арифметическую прогрессию, то
одно из них есть среднее арифметическое двух других.
Пусть O — центр вписанной окружности (точка пересечения
биссектрис) треугольника ABC , в котором AC = b , BC=a , AB = 
. Тогда, если CQ —
биссектриса треугольника ABC , то 
=
= 
, значит, BQ=
и AQ = 
, а т.к. BO — биссектриса треугольника BCQ , то 
= 
= 2.
С другой стороны, если K — середина
стороны AB , а M — точка пересечения медиан треугольника ABC , то 
= 2. Поэтому =
, значит, OM || AB .
Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь