Олимпиадная задача: Периметр шестиугольника, образованного касательными к окружности

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами AB=c , AC = b и BC=a , MNPQRT — шестиугольник, о котором говорится в условии задачи (см.рисунок). При симметрии относительно точки O прямая MN переходит в параллельную ей прямую BC , а прямая AB — в параллельную ей прямую PQ , поэтому точка M пересечения прямых MN и AB переходит в точку пересечения прямых BC и PQ , т.е. в точку Q . Аналогично, точка N переходит в точку R . Следовательно, отрезок MN переходит в отрезок QR . Аналогично, отрезок PQ переходит в отрезок TM , а отрезок RT — в отрезок NP . Таким образом противоположные стороны шестиугольника MNPQRT попарно равны.

Пусть p и p1— полупериметры треугольников ABC и AMN соответственно, C1— точка касания окружности со стороной AB . Тогда p1= AC1=p-a , значит, коэффициент подобия треугольников AMN и ABC равен = , поэтому

QR=MN=BC· = .

Аналогично,

NP=RT = , TM=PQ = .

Следовательно, периметр шестиугольника MNPQRT равен ++ . Далее имеем:

++ · 2p

++ p

(a+b+c)p-(a2+b2+c2) p2

(a+b+c)2-(a2+b2+c2) ·

3(a2+b2+c2) (a+b+c)2

3a2+3b2+3c2 a2+b2+c2+ 2ab+2ac+2bc

a2-2ab+b2 +b2-2bc+c2+a2-2ac+c2 0

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 0.

Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует