Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: перпендикуляры и диагональ

Задача

Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Решение

Пусть точки расположены как на рисунке.

∠MRB= ∠MBC= ∠MDC= ∠DTQ= 90° – ∠RTQ, следовательно, RP⊥QT. ПустьN– основание перпендикуляра, опущенного из точкиMна диагональAC. ТочкиNиRлежат на окружности с диаметромAM. Значит, ∠MRN= ∠MAN= ∠MAC= ∠MBC= ∠MRP, то есть точкаNлежит на прямойRP. АналогичноNлежит на прямойTQ.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии: точки и перпендикуляры в прямоугольнике

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления