Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: фиксированная точка PQ

Задача

Дан треугольник ABC . На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN , параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC ); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM , отличная от P . Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим ACB = g . Тогда

AQP = ANP = ACB = g, BQP = BMP = ACB = g,

значит, для любого положения точки P отрезок AB виден из точки Q под одним и тем же углом2g , поэтому все точки Q лежат на одной и той же окружности, а т.к. QP — биссектриса угла AQB , то все прямые PQ проходят через середину не содержащей точку Q дуги AB этой окружности.

Аналогично для остальных случаев.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии: точки, параллельные прямые и окружности в треугольнике 8-9 класс

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления