Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: центры описанных окружностей треугольника
Задача
Пусть Oa, Ob и Oc – центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB.
Докажите, что если точки Oa и Ob лежат на прямых PA и PB, то точка Oc лежит на прямой PC.
Решение
Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, поэтому AP ⊥ ObOc, BP ⊥ OaOc и CP ⊥ OaOb. При этом точка A лежит на прямой OaP, а точка B – на прямой ObP, значит, высоты треугольника OaObOc, проведённые из вершин Oa и Ob, лежат на прямых OaA и ObB. Эти прямые пересекаются в точке P, поэтому прямая, содержащая высоту треугольника OaObOc, проведённую из третьей вершины Oc, также проходит через точку P, а так как CP ⊥ OaOb, то точки Oc, P и C лежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь