Олимпиадная задача по планиметрии: найдите AC в треугольнике ABC, если AB = 6, BC = 16

  Пусть N и M – середины сторон соответственно AB и AC треугольника ABC,  O – центр окружности, проходящей через точки B, N и M, K – отличная от B точка пересечения этой окружности со стороной BC. Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC, хорды MN и BK параллельны, поэтому

MK = NB = ½ AB = 3.  Заметим, что  AC ≠ BC,  так как иначе бисcектриса угла C лежала бы на серединном перпендикуляре к стороне AB треугольника ABC, что невозможно, поскольку лежащая на этой биссектрисе точка O принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку BN, а серединные перпендикуляры отрезков AB и BN параллельны. В треугольниках OMC и OKC известно, что  ∠OCM = ∠OCK,  OM = OK,  а сторона OC – общая. Аналогично для треугольников OMC и OBC . Значит, треугольник OMC равен либо треугольнику OKC, либо треугольнику OBC.

  Рассмотрим случай, когда треугольник OMC равен треугольнику OKC. Обозначим  MC = CK = x,  ∠C = γ.  Из треугольников CKM и ABC по теореме косинусов находим, что

  Таким образом,  16x(2x² – 9) = 2x(x² + 55)  ⇔  x³ – 16x² + 55x + 72 = 0  ⇔  (x + 1)(x – 9)(x – 8) = 0.

  Ясно, что x не может быть отрицательным. Если же  x = 8,  то  AC = 2x = 16 = BC,  что невозможно. Значит,  x = 9  и  AC = 2x = 18.

  Пусть теперь треугольник OMC равен треугольнику OBC. Тогда  MC = BC = 16,  поэтому  AC = 2MC = 32,  что невозможно, так как в этом случае

AB + BC = 6 + 16 < 32 = AC.