Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на четыре треугольника и три четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см. Периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин жирных отрезков.
Дан равнобедренный треугольник<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>). Выбрана точка<i> X </i>на стороне<i> AC </i>. Окружность проходит через точку<i> X </i>, касается стороны<i> AC </i>и пересекает описанную окружность треугольника<i> ABC </i>в таких точках<i> M </i>и<i> N </i>, что прямая<i> MN </i>делит отрезок<i> BX </i>пополам и пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> BPQ </i>проходит через центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> имеет центр <i>I</i> и касается сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Обозначим через <i>L</i> основание биссектрисы угла <i>B</i>, а через <i>K</i> – точку пересечения прямых <i>B</i><sub>1</sub><i>I</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>KL || BB</i><sub>1</sub>.
Внутри треугольника<i> ABC </i>выбрана произвольная точка<i> X </i>. Лучи<i> AX </i>,<i> BX </i>и<i> CX </i>пересекают описанную около треугольника<i> ABC </i>окружность в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно. Точка<i> A</i>2симметрична точке<i> A</i>1относительно середины стороны<i> BC </i>. Аналогично определяются точки<i> B</i>2и<i> C</i>2. Докажите, что найдётся такая фиксированная точка<i> Y </i>, не зависящая от выбора<i> X </i>, что точки<i> Y </i>,<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2лежат на одной окружности.
Через вершины<i> A </i>и<i> B </i>остроугольного треугольника<i> ABC </i>проведена окружность, пересекающая сторону<i> AC </i>в точке<i> X </i>, а сторону<i> BC </i>— в точке<i> Y </i>. Оказалось, что эта окружность проходит через центр описанной окружности треугольника<i> XCY </i>. Отрезки<i> AY </i>и<i> BX </i>пересекаются в точке<i> P </i>. Известно, что<i> <img src="/storage/problem-media/115329/problem_115329_img_2.gif"> ACB = </i>2<i><img src="/storage/problem-media/115329/problem_115329_img_2.gif"> APX </i>. Найдите угол<i> ACB </i>.
Пусть <i>BL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Внутри треугольника <i>BLC</i> нашлась такая точка <i>P</i>, что ∠<i>BPC</i> = 90° и ∠<i>LPC</i> + ∠<i>LBC</i> = 180°. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>LPB</i>. Докажите, что прямые <i>CO, BL</i> и <i>AM</i>, где <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, пересекаются в одной точке.
Окружность, проходящая через вершины<i> A </i>и<i> B </i>треугольника<i> ABC </i>, пересекает стороны<i> AC </i>и<i> BC </i>в точках<i> X </i>и<i> Y </i>соответственно. При этом центр вневписанной окружности треугольника<i> XYC </i>, касающейся стороны<i> XY </i>, лежит на описанной окружности треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что отрезок<i> XY </i>проходит через центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>.
Биссектриса угла<i> A </i>треугольника<i> ABC </i>пересекает вписанную в этот треугольник окружность в точках<i> F </i>и<i> L </i>. Точка<i> D </i>— основание перпендикуляра из точки<i> C </i>на эту биссектрису,<i> K </i>— основание перпендикуляра из центра вписанной окружности на<i> BD </i>. Докажите, что точки<i> F </i>,<i> L </i>,<i> B </i>и<i> K </i>лежат на одной окружности.
<i>AE</i> и <i>CD</i> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает отрезок <i>DE</i> в точке <i>F</i>. На отрезках <i>AE</i> и <i>CD</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, что четырёхугольники <i>ADFQ</i> и <i>CEPF</i> – вписанные. Докажите, что <i>AP = CQ</i>.
Окружность, проходящая через вершины<i> B </i>и<i> C </i>прямоугольного треугольника<i> ABC </i>, пересекает гипотенузу<i> AC </i>в точке<i> X </i>. Касательные к этой окружности, проведённые в точках<i> X </i>и<i> B </i>, пересекаются в точке<i> Y </i>. Докажите, что точка<i> Y </i>лежит на средней линии треугольника<i> ABC </i>, параллельной стороне<i> BC </i>, или на её продолжении.
Даны непересекающиеся окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2и их общие внешние касательные<i> l</i>1и<i> l</i>2. На<i> l</i>1между точками касания отметили точку<i> A </i>, а на<i> l</i>2— точки<i> B </i>и<i> C </i>так, что<i> AB </i>и<i> AC </i>— касательные к<i> S</i>1и<i> S</i>2. Пусть<i> O</i>1и<i> O</i>2— центры окружностей<i> S</i>1и<i> S</i>2, а<i> K </i>— точка касания вневписанной окружности треугольника<i> ABC </i>со стороной<i> BC </i>. Докажите, что середина отрезка<i> O</i>1<i>O</i>2равноудалена от точек<i> A </i>...
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CK</i>, а в треугольнике <i>BCK</i> – биссектрису <i>KL</i>. Прямые <i>AC</i> и <i>KL</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Известно, что
∠<i>A</i> > ∠<i>C</i>. Докажите, что <i>AK + KC > AM</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>BF</i> = 2<i>CF, CE</i> = 2<i>AE</i> и ∠<i>DEF</i> = 90°.
Докажите, что ∠<i>ADE</i> = ∠<i>EDF</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>X, Y</i> и <i>Z</i> соответственно так, что <i>BZ</i> = 2<i>AY</i> и ∠<i>XYZ</i> = 90°.
Докажите, что <i>AX + CZ = XZ</i>.
В треугольнике<i> ABC </i>с углом<i> B </i>, равным60<i><sup>o</sup> </i>, проведена биссектриса<i> CL </i>. Пусть<i> I </i>— центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>. Описанная окружность треугольника<i> ALI </i>пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> D </i>. Докажите, что точки<i> B </i>,<i> L </i>,<i> D </i>и<i> C </i>лежат на одной окружности.
<i>AD</i> – диаметр окружности, описанной около четырёхугольника <i>ABCD</i>. Точка <i>E</i> симметрична точке <i>A</i> относительно середины <i>BC</i>.
Докажите, что <i>DE</i> ⊥ <i>BC</i>.
В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> диагонали <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> равны. Пусть <i>P</i> – точка пересечения диагналей <i>AD</i> и <i>CF, R</i> – точка пересечения диагоналей <i>BE</i> и <i>CF, Q</i> – точка пересечения диагоналей <i>AD</i> и <i>BE</i>. Известно, что <i>AP = PF, BR = CR</i> и <i>DQ = EQ</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C, D, E</i> и <i>F</i> лежат на одной окружности.
В выпуклом четырёхугольнике <i> ABCD </i> выполняются равенства: ∠<i>B</i> = ∠<i>C</i> и <i>CD</i> = 2<i>AB</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана такая точка <i>X</i>, что ∠<i>BAX</i> = ∠<i>CDA</i>.
Докажите, что <i>AX = AD</i>.
На сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли точки <i>K, L</i> и <i>M</i> соответственно так, что ∠<i>A</i> = ∠<i>KLM</i> = ∠<i>C</i>.
Докажите, что если <i>AL + LM + MB > CL + LK + KB</i>, то <i>LM < LK</i>.
На стороне<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>отмечена точка<i> D </i>. Произвольный луч<i> l </i>, выходящий из вершины<i> B </i>, пересекает отрезок<i> AC </i>в точке<i> K </i>, а описанную окружность треугольника<i> ABC </i>— в точке<i> L </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> DKL </i>проходит через фиксированную точку, отличную от<i> D </i>и не зависящую от выбора луча<i> l </i>.
В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> на стороне <i>AB</i> взята такая точка <i>E</i>, что <i>AE</i> : <i>BE = AD</i> : <i>BC</i>. Точка <i>H</i> – проекция точки <i>D</i> на прямую <i>CE</i>.
Докажите, что <i>AH = AD</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> в 2 раза больше угла <i>B, AL</i> – биссектриса треугольника. На луче <i>AL</i> отложен отрезок <i>AK</i>, равный <i>CL</i>.
Докажите, что <i>AK = CK</i>.
<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>, причём <i>AL = LB</i>. На луче <i>AL</i> отложен отрезок <i>AK</i>, равный <i>CL</i>. Докажите, что <i>AK = CK</i>.
<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник, <i>AB = BC</i> и <i>AD = DC</i>. На диагонали <i>AC</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что <i>AK = BK</i> и четырёхугольник <i>KBCD</i> – вписанный. Докажите, что <i>BD = CD</i>.
Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – середины оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> соответственно. Оказалось, что <i>AB = BC</i>, а точка <i>P</i> лежит на биссектрисе угла <i>B</i>.
Докажите, что <i>BD</i> = 2<i>PQ</i>.