Олимпиадная задача по планиметрии с вписанной окружностью и параллельными прямыми для 8-9 классов
Задача
Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. Обозначим через L основание биссектрисы угла B, а через K – точку пересечения прямых B1I и A1C1. Докажите, что KL || BB1.
Решение
Рассмотрим случай, когда точка L лежит на отрезке B1C. Пусть прямые BI и A1C1 пересекаются в точке M. Тогда BM – биссектриса (и, значит, высота) равнобедренного треугольника A1BC1. Радиус IB1 перпендикулярен касательной AC. Таким образом, точки M и B1 лежат на окружности с диаметром KL. Вписанные в эту окружность углы KLM и KB1M равны. Осталось доказать, что ∠KB1M = ∠IBB1.
C1M – высота прямоугольного треугольника BIC1, проведённая из вершины прямого угла. Значит, 
откуда
IB1 : IM = IB : YB1. Поэтому треугольники B1IM и BIB1 подобны по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠KB1M = ∠IB1M = ∠IBB1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь