Олимпиадная задача по планиметрии: окружности и инцентры в треугольнике ABC

Пусть S — описанная окружность треугольника ABC , S1— окружность, проходящая через точки A , B , X и Y , P — центр вневписанной окружности треугольника XYC , касающейся стороны XY .

Из условия задачи следует, что CP — биссектриса угла ACB . Центр I вписанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе каждого угла этого треугольника. Обозначим углы треугольника ABC через a , b и g соответственно. По теореме о внешнем угле треугольника

AIP = ACP+ CAI = + .

В то же время, вписанные в окружность S углы APC и ABC опираются на одну и ту же дугу, поэтому

API = APC= ABC = b.

Поскольку XP — биссектриса угла AXY , а четырёхугольник AXYB вписан в окружность S1,

AXP = AXY = (180^o- ABC) = (180^o-b)= (g+a) = AIP

Таким образом, из точек X и I отрезок AP виден под одним и тем же углом b , значит, точки X , I , A и P лежат на одной окружности. По свойству вписанного четырёхугольника

AXI = 180^o- API = 180^o-b= AXY

(четырёхугольник AXYB вписан в окружность S1). Следовательно, точка I лежит на XY .

Ответ задачи отсутствует