Олимпиадная задача по планиметрии: окружность треугольника DKL и фиксированная точка
Задача
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D . Произвольный луч l , выходящий из вершины B , пересекает отрезок AC в точке K , а описанную окружность треугольника ABC — в точке L . Докажите, что описанная окружность треугольника DKL проходит через фиксированную точку, отличную от D и не зависящую от выбора луча l .
Решение
Преположим, что точка K лежит между A и D . Через вершину B треугольника ABC проведём прямую, параллельную AC . Пусть эта прямая пересекает описанную окружность треугольника в точке P (если треугольник ABC равнобедренный, то точка P совпадает с B ), а луч PD пересекает окружность в точке Q . Докажем, что четырёхугольник LKDQ — вписанный. Это будет означать, что окружность, описанная около треугольника DKL , проходит через точку Q .
Обозначим через a — величину дуги AP , не содержащей
точки C , а через b — величину дуги CQ , не содержащей
точки B . Тогда величина дуги BC , не содержащей точки A также
равна a (дуги, заключённые между параллельными хордами,
равны). Хорды AC и PQ пересекаются в точке D , поэтому 
ADP = 
. Вписанный угол BLQ опирается на дугу BCQ , поэтому
KLQ = BLQ =
a+b = ADP,
KLQ + KDQ = 180o . Следовательно,
четырёхугольник LKDQ — вписанный. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка K лежит между D и C .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь