Олимпиадная задача по планиметрии: окружность и симметрия точек внутри треугольника
Задача
Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1, B1и C1соответственно. Точка A2симметрична точке A1относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2и C2. Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2, B2и C2лежат на одной окружности.
Решение
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC . Определим точку H равенством 
=
+
+
(точка H является ортоцентром
треугольника ABC , но нам это не понадобится). Докажем,
что H — это искомая точка Y , т.е., что точки H , A2, B2и C2лежат на одной окружности.
Пусть K — вершина параллелограмма OA1KA2. Тогда OBKC — также параллелограмм. Поэтому
=
=
+
=
+(+)=
-
+(-)=
-(+).
=
-(+
),
=
-(+
).
При гомотетии с центром O и коэффициентом -2 точки A3, B3и C3перейдут в некоторые точки A4, B4и C4, причём эти точки и точка O лежат на одной окружности, а также
= -2
=
-(+)=
-,
= -2
=
-(+)=
-,
= -2
=
-(+)=
-.
точка O перейдёт в точку H , а точки A4, B4и C4— в точки A2, B2и C2. Следовательно,
точки H , A2, B2и C2лежат на одной
окружности. Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь