Олимпиадная задача по планиметрии: Окружность через центр описанной окружности
Задача
Через вершины A и B остроугольного
треугольника ABC проведена окружность,
пересекающая сторону AC в точке X , а
сторону BC — в точке Y . Оказалось,
что эта окружность проходит через центр
описанной окружности треугольника XCY .
Отрезки AY и BX пересекаются в точке P . Известно, что 
ACB =
2 APX . Найдите угол ACB .
Решение
Пусть O — центр описанной окружности s треугольника XCY , s1— окружность, проходящая
через точки A , B , X и Y .
Обозначим APX = a . Тогда
XCY = ACB = 2a,
XOY = 2 XCY = 4a
Вписанный в окружность s1угол XOY опирается
на дугу XABY , значит,
эта дуга равна8a , а т.к. сумма меньших дуг AX и BY вдвое больше угла APX , равного a , то
большая дуга AB равна8a - 2a = 6a .
Значит, AXB = 3a .
Из вписанного четырёхугольника BYOX находим, что
XBY = 180o- XOY = 180o-4a.
AXB = ACB + XBY , или
= 36o .
Следовательно, ACB = 2a = 72o .
Ответ
72o .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь