Олимпиадная задача по планиметрии: Окружность через центр описанной окружности

Пусть O — центр описанной окружности s треугольника XCY , s1— окружность, проходящая через точки A , B , X и Y . Обозначим APX = a . Тогда

XCY = ACB = 2a, XOY = 2 XCY = 4a

(центральный угол XOY окружности s вдвое больше вписанного угла XCY ).

Вписанный в окружность s1угол XOY опирается на дугу XABY , значит, эта дуга равна8a , а т.к. сумма меньших дуг AX и BY вдвое больше угла APX , равного a , то большая дуга AB равна8a - 2a = 6a . Значит, AXB = 3a .

Из вписанного четырёхугольника BYOX находим, что

XBY = 180^o- XOY = 180^o-4a.

По теореме о внешнем угле треугольника AXB = ACB + XBY , или

3a = 2a + (180^o-4a),

откуда находим, что a = = 36^o . Следовательно, ACB = 2a = 72^o .