Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство для биссектрисы треугольника ABC
Задача
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает вписанную в этот треугольник окружность в точках F и L . Точка D — основание перпендикуляра из точки C на эту биссектрису, K — основание перпендикуляра из центра вписанной окружности на BD . Докажите, что точки F , L , B и K лежат на одной окружности.
Решение
Пусть окружность с центром I , вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC , AC и AB в точках A1, B1и C1соответственно. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из точек D и A1отрезок IC виден под прямым
углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром IC . Вписанные в эту окружность углы CA1D и CID опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
CA1D = CID , а т.к. IC 
A1B1и B1C1 ID , то CID =
A1B1C1. Из теоремы об угле между касательной
и хордой следует, что A1B1C1 =
BA1C1. Таким образом, CA1D =
BA1C1. Следовательно, точки D , A1и C1лежат на одной прямой.
Из точек K и A1отрезок IB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром IB . Прямая DC1— общая секущая этой окружности и вписанной окружности треугольника ABC , поэтому DF· DL = DC1· DA1 = DB· DK . Следовательно, точки F , L , B и K лежат на одной окружности.
Аналогично для остальных случаев.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь