Задание олимпиады по планиметрии: выпуклый шестиугольник, 8-9 классы

Задача

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны. Пусть P – точка пересечения диагналей AD и CF, R – точка пересечения диагоналей BE и CF, Q – точка пересечения диагоналей AD и BE. Известно, что AP = PF, BR = CR и DQ = EQ. Докажите, что точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.

Решение

Рассмотрим случай, изображенный на рисунке. ПустьO– центр вписанной окружности треугольникаPQR. Тогда лучOPсодержит биссектрису углаAPF, а так как треугольникAPFравнобедренный, то прямаяPO– серединный перпендикуляр к отрезкуAF, значит, OA = OF. Аналогично OB = OC и OD = OE. Кроме того, ∠OAP= ∠OAF– ∠PAF= ∠OFA– ∠PFA= ∠OFP.

ТреугольникиAODиFOCравны по двум сторонам и углу между ними (AO = OF, AD = FC и ∠OAD= ∠OFC), значит, OD = OC. Аналогично OA = OB. Следовательно, OF = OA = OB = OC = OD = OE, то естьO– центр окружности, проходящей через точкиA, B, C, D, EиF. Аналогично разбираются остальные случаи.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: выпуклый шестиугольник и описанная окружность

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления