Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: биссектрисы в треугольнике
Задача
В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK – биссектрису KL. Прямые AC и KL пересекаются в точке M. Известно, что
∠A > ∠C. Докажите, что AK + KC > AM.
Решение
Обозначим ∠A = α, ∠C = γ. Первый способ. На продолжении биссектрисы CK за точку K отложим отрезок KA1 = KA. Тогда AK + KC = A1K + KC = CA1. Треугольники AKM и A1KM равны по двум сторонам и углу между ними (∠AKM = ∠BKL = ∠CKL = ∠A1KM), поэтому AM = A1M. Осталось доказать, что CA1 > A1M.
∠ACK = γ/2. По теореме о внешнем угле треугольника ∠AKA1 = α + γ/2, ∠AMK = ∠CAK – ∠AKM = α – ½ (α + γ/2) = α/2 – γ/4. Значит,
∠CMA1 = ∠AMA1 = 2∠AMK = 2(α/2 – γ/4) = α – γ/2 > γ/2 = ∠MCA1, поскольку α > γ. В треугольнике CMA1 против большего угла CMA1лежит большая сторона CA1. Второй способ. ∠BKL = ∠AKM = α/2 + γ/4, ∠AML = α/2 – γ/4.
Следовательно, AM > AK и на отрезке AM можно отложить такую точку P, что KP = PM. Тогда ∠KPC = 2∠PMK = 2∠AML = α – γ/2,
∠PKA = ∠AKM – ∠PKM = (α/2 + γ/4) – (α/2 – γ/4) = γ/2 = ∠KCP.
Из условия следует, что α – γ/2 > γ/2, значит, в треугольнике APK сторона AK больше стороны AP, а в треугольнике KPC сторона KC больше стороны KP. Таким образом, AK + KC > AP + KP = AM.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь