Олимпиадная задача по планиметрии: Доказательство равенства отрезков в треугольнике для 8-9 класса
Задача
Дан равносторонний треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что BZ = 2AY и ∠XYZ = 90°.
Докажите, что AX + CZ = XZ.
Решение
Через точку Z параллельно стороне AB проведём прямую до пересечения со стороной AC в точке P. Тогда треугольник CPZ – также равносторонний, поэтому ZP = CZ = CP и AP = BZ = 2AY, то есть Y – середина отрезка AP. Продолжим катет ZY до пересечения с прямой AB в точке K. Тогда треугольники AKY и PZY равны по стороне и двум углам (∠KAY = ∠ZPY = 120°), поэтому AK = ZP = CZ, а Y – середина отрезка KZ. Треугольник KXZ – равнобедренный, так как его высота XY является медианой. Следовательно, XZ = KX = AX + AK = AX + ZP = AX + CZ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь