Олимпиадная задача по планиметрии: равные расстояния от середины O1O2 до A и K
Задача
Даны непересекающиеся окружности S1и S2и их общие внешние касательные l1и l2. На l1между точками касания отметили точку A , а на l2— точки B и C так, что AB и AC — касательные к S1и S2. Пусть O1и O2— центры окружностей S1и S2, а K — точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC . Докажите, что середина отрезка O1O2равноудалена от точек A и K .
Решение
Пусть окружность S1касается прямых l1и l2в точках соответственно A1и B1, а окружность S2— в точках соответственно A2и C1, D — точка касания окружности S1с отрезком AB , E — точка касания окружности S2с отрезком AC . Тогда
A1A2=B1C1, AB+BK = AC+CK,
AB+BK = (AD+DB)+BK =(AA1+BB1)+BK= AA1+(BB1+BK) = AA1+B1K,
AC+CK = (AE+EC)+CK = (AA2+CC1)+CK= AA2+(CC1+CK) = AA2+KC1.
=(A1A+B1K)+ (AA2+KC1) =(A1A+B1K)+(A1A+B1K)= 2(A1A+B1K).
Пусть P — середина O1O2. Тогда перпендикуляр PM , опущенный из точки P на A1A2, — средняя линия прямоугольной трапеции A1O1O2A2. Следовательно, PM — серединный перпендикуляр к стороне A1A2равнобедренной трапеции A1A2C1B1, значит, P — центр описанной окружности этой трапеции. Поэтому PA1=PA2=PB1=PC1.
Равнобедренные треугольники PA1A2и PB1C1равны по трём сторонам, а т.к. AA2=B1K , то PA и PK — соответствующие отрезки этих равных треугольников. Следовательно, PA=PK . Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь