Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен60<i>^o </i>. Найдите биссектрису тругольника, проведённую из вершины этого угла.

В треугольнике<i> ABC </i>проведена медиана<i> BM </i>. Известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115569/problem_115569_img_2.gif"> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115569/problem_115569_img_3.gif"> </i>. Найдите отношение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115569/problem_115569_img_4.gif"> </i>.

Радиус окружности с центром<i> O </i>равен2<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115568/problem_115568_img_2.gif"> </i>. В сектор<i> AOB </i>с углом45<i>^o </i>, вписан прямоугольник<i> KLMN </i>. Сторона<i> KL </i>расположена на отрезке<i> OA </i>, вершина<i> M </i>— на дуге<i> AB </i>, а вершина<i> N </i>— на отрезке<i> OB </i>. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них вдвое больше другой. радиус.

На сторонах<i> BC </i>и<i> AD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>построены внешним образом равносторонние треугольники<i> BPC </i>и<i> AQD </i>. Найдите расстояние между их центрами, если<i> BC = BD = </i>6,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115567/problem_115567_img_2.gif"> ABC = </i>97<i>,</i>5<i>^o </i>.

Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60°. На двух его противоположных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120° при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

Один из смежных углов с вершиной<i> A </i>вдвое больше другого. В эти углы вписаны окружности с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2. Найдите углы треугольника<i> O</i>1<i>AO</i>2, если отношение радиусов окружностей равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115564/problem_115564_img_2.gif"> </i>.

Окружности радиусов <i>r</i> и <i>R</i> касаются внешним образом в точке <i>K</i>. Прямая касается этих окружностей в различных точках <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите площадь треугольника <i>AKB</i>.

Окружность с центром<i> O </i>, вписанная в треугольник<i> ABC </i>, касается его сторон<i> AB </i>и<i> AC </i>в точках<i> M </i>и<i> N </i>. Окружность с центром<i> Q </i>вписана в треугольник<i> AMN </i>. Найдите<i> OQ </i>, если<i> AB=</i>13,<i> BC=</i>15и<i> AC=</i>14.

В параллелограмме <i>ABCD</i> биссектрисы углов при стороне <i>AD</i> делят сторону <i>BC</i> точками <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>BM</i> : <i>MN</i> = 1 : 7.  Найдите <i>BC</i>, если  <i>AB</i> = 12.

В параллелограмме <i>ABCD</i> биссектрисы углов при стороне <i>AD</i> делят сторону <i>BC</i> точками <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>BM</i> : <i>MN</i> = 1 : 5.  Найдите <i>BC</i>, если  <i>AB</i> = 3.

В треугольнике<i> ABC </i><i> AB=</i>15,<i> BC=</i>8,<i> CA=</i>9. Точка<i> D </i>лежит на прямой<i> BC </i>так, что<i> BD:DC=</i>3<i>:</i>8. Окружности, вписанные в треугольники<i> ADC </i>и<i> ADB </i>, касаются стороны<i> AD </i>в точках<i> E </i>и<i> F </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>.

В треугольнике<i> ABC </i><i> AB=</i>14,<i> BC=</i>6,<i> CA=</i>9. Точка<i> D </i>лежит на прямой<i> BC </i>так, что<i> BD:DC=</i>1<i>:</i>9. Окружности, вписанные в треугольники<i> ADC </i>и<i> ADB </i>, касаются стороны<i> AD </i>в точках<i> E </i>и<i> F </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>.

В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда<i> AB=</i>8. Точка<i> C </i>лежит на хорде<i> AB </i>так, что<i> AC:BC=</i>1<i>:</i>2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды<i> AB </i>в точке<i> C </i>.

Прямые, касающиеся окружности ω в точках <i>B</i> и <i>D</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i>, высекает на окружности хорду <i>AC</i>. Через точку отрезка <i>AC</i> проведена прямая, параллельная <i>BD</i>. Докажите, что она делит длины ломаных <i>ABC</i> и <i>ADC</i> в одинаковых отношениях.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором  ∠<i>BAC</i> = 40°  и  ∠<i>BCA</i> = 20°.  На диагонали <i>AC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>G</i>, а на стороне <i>AD</i> – точки <i>F</i> и <i>H</i> так, что точки <i>B, E</i> и <i>F</i> лежат на одной прямой,  ∠<i>ABG</i> = ∠<i>AHG</i> = 90°  и  <i>AF = EG</i>.  Докажите, что  <i>AF = HD</i>.

Пусть <i>I</i> и <i>I_A</i> – соответственно центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>l_A</i> проходит через ортоцентры треугольников <i>BIC</i> и <i>BI_AC</i>. Аналогичным образом определяются прямые <i>l_B</i> и <i>l_C </i>. Докажите, что прямые <i>l_A, l_B</i> и <i>l_C</i> пересекаются в одной точке.

Дана трапеция<i> ABCD </i>(<i> AB || CD </i>). Обозначим через<i> R</i>1и<i> R</i>2радиусы описанных окружностей треугольников<i> ACD </i>и<i> BCD </i>. Докажите, что<i> AB</i>2<i> <img src="/storage/problem-media/115342/problem_115342_img_2.gif"> </i>4<i>R</i>1<i>R</i>2.

Дан вписанный четырёхугольник<i> ABCD </i>. Пусть<i> s</i>1— окружность, проходящая через точки<i> A </i>и<i> B </i>и касающаяся прямой<i> AC </i>, а<i> s</i>2— окружность, проходящая через точки<i> C </i>и<i> D </i>и касающаяся<i> AC </i>. Докажите, что прямые<i> AC </i>,<i> BD </i>и вторая общая внутренняя касательная к окружностям<i> s</i>1и<i> s</i>2проходят через одну точку.

Точка<i> O </i>— центр описанной окружности вписанного четырёхугольника<i> ABCD </i>. Известно, что<i> <img src="/storage/problem-media/115340/problem_115340_img_2.gif"> ABC > <img src="/storage/problem-media/115340/problem_115340_img_2.gif"> ADC </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/115340/problem_115340_img_2.gif"> AOC = <img src="/storage/problem-media/115340/problem_115340_img_2.gif"> BAD = </i>110<i>^o </i>. Докажите, что<i> AB+AD>CD </i>.

Пятиугольник <i>ABCDE</i> описан около окружности Ω. Сторона <i>BC</i> касается окружности <i>s</i> в точке <i>K</i>. Известно, что  <i>AB = BC = CD</i>.

Докажите, что  ∠<i>EKB</i> = 90°.

На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с углом 44° при вершине взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i>, что  <i>AM = BN = AC</i>.  Точка <i>X</i> на луче <i>CA</i> такова, что  <i>MX = AB</i>  Найдите угол <i>MXN</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>E</i>, а на отрезке <i>BE</i> – точка <i>F</i>. Оказалось, что  <i>AC = BD</i>,  2∠<i>ACF</i> = ∠<i>ADB</i>,  2∠<i>CAF</i> = ∠<i>CDB</i>.

Докажите, что  <i>AD = CE</i>.

Внутри треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>M</i> так, что при этом  ∠<i>BAM</i> = ∠<i>B</i>,  ∠<i>AMB</i> = 100°,  ∠<i>C</i> = 70°.  Докажите, что  <i>BM < AC</i>.

На продолжении стороны <i>AD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> за точку <i>D</i> отмечена такая точка <i>E</i>, что  <i>AC = CE</i> и  ∠<i>BDC</i> = ∠<i>DEC</i>.

Докажите, что  <i>AB = DE</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> нашлись такие точки <i>K</i> и <i>L</i>, что <i>L</i> – середина <i>AK</i> и <i>BK</i> – биссектриса угла <i>LBC</i>. Оказалось, что  <i>BC</i> = 2<i>BL</i>.

Докажите, что  <i>KC = AB</i>.