Олимпиадная задача по планиметрии: пятиугольник около окружности, угол EKB
Задача
Пятиугольник ABCDE описан около окружности Ω. Сторона BC касается окружности s в точке K. Известно, что AB = BC = CD.
Докажите, что ∠EKB = 90°.
Решение
Пусть стороны AB, CD, DE и AE касаются окружности Ω в точках P, L, M и N соответственно. Тогда AN = AP, BP = BK, CK = CL, DL = DM,
EM = EN, а так как AB = BC = CD, то AN = AP = CK = CL.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из точек A и C, равны, поэтому ∠EAB = ∠BCD, значит, треугольники ABN и CDK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BN = KD и ∠ABN = ∠CDK. Аналогично ∠ABC = ∠CDE. Поэтому
∠NBK = ∠ABC – ∠ABN = ∠CDE – ∠CDK = ∠KDM, значит, треугольники NBK и KDM также равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому треугольники ENK и EMK равны по трём сторонам. Следовательно, ∠AEK = ∠DEK. Таким образом, три угла четырёхугольника EABK соответственно равны трём углам четырёхугольника EDCK, значит, четвёртые углы также равны, то есть ∠BKE = ∠CKE, а так как они смежные, то каждый из них равен 90°.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь