Олимпиадная задача по планиметрии: расстояние между центрами окружностей в треугольнике (8-9 класс)

Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , p — полупериметр треугольника ABC . Тогда

p===21.

По формуле Герона

S_{Δ ABC}== = 84,

значит,

r===4.

Докажем что центр Q окружности, вписанной в треугольник AMN , лежит на вписанной окружности треугольника ABC . Действительно, пусть Q' — середина меньшей дуги MN вписанной окружности треугольника ABC . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

AMQ'= MNQ'= NMQ',

поэтому MQ' — биссектриса угла AMN . Аналогично, NQ' — биссектриса угла ANM , значит, Q' — точка пересечения биссектрис треугольника AMN , т.е. центр вписанной окружности этого треугольника. Таким образом, точка Q' совпадает с точкой Q . Следовательно, OQ=r=4.